Тарг С.М. 1989. Вариант 89 (рис. 8, условие 9)

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. СЗ.0 — С3.9, табл. СЗ). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах H, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила Р образует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно α₁ = 45°, β₁ = 60°, γ₁ = 60°, а сила Q — углы α₂ = 60°, β₂ = 45°, γ₂ = 60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. СЗ.0. Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол φ = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол θ = 51°. Определить усилия в стержнях. На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж СЗ. 1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LM, LA, LB; МА, МС, MD. Там же показаны углы φ и θ.

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0 — С4.7) или же двумя подшипниками в точках A и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами. Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты P₁ = 5 кН, вес меньшей плиты P₂ = 3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху — горизонтальная). На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН·м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ — в плоскости, параллельной xz, и сила F₃ — в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е, Н, К) находятся в углах или в серединах сторон плит. Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить. Задача К1а. Точка В движется в плоскости xy (рис. К1.0 — К 1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁(t), y = f₂(t), где x и y выражены в сантиметрах, t — в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f₂(t) дана в табл. K1 (для рис. 0—2 в столбце 2, для рис. 3—6 в столбце 3, для рис. 7—9 в столбце 4). Как и в задачах С1 — С4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 — по последней. Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону s = f(t), заданному в табл. К1 в столбце 5 (s — в метрах, t — в секундах), где s =AM — расстояние точки от некоторого начала A, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы v и a, считая, что точка в этот момент находится в положении M, а положительное направление отсчета s — от А к М.

Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ — 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, В и С. В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t) — закон вращения колеса 1, s₂(f) — закон движения рейки 4, ω₂(t) — закон изменения угловой скорости колеса 2, v₅(t) — закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражено в радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и v₄, v₅ — вниз. Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v — линейные, ω — угловые) и ускорения (а — линейные, ε — угловые) соответствующих точек или тел (v₅ — скорость груза 5 и т. д.).

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁ = 2 кг и D₂ массой m₂ = 6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃ = 12 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д3.0 — Д3.9, табл. Д3). В момент времени t₀ = 0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r = 0,4 м и R = 0,8 м. При движении грузов угол φ₁ = ∠A₂C₃D₁ изменяется по закону φ₁ = f₁(t), а угол φ₂ = ∠A₂C₃D₂ — по закону φ₂ = f₂(t). В табл. ДЗ эти зависимости даны отдельно для рис. 0—4 и 5—9, где φ выражено в радианах, t — в секундах. Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце «Найти», т. е. x₃ = t₃(t) и N = f(t), где x₃ — координата центра C₃ плиты (зависимость x₃ = f₃(t) определяет закон движения плиты), N — полная нормальная реакция направляющих.

Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. Д12.0 — Д12.9), состоит из ступенчатых колес 1 и 2 с радиусами R₁ = 0,4 м, r₁ = 0,2 м, R₂ = 0,5 м, r₂ = 0,3 м, имеющих неподвижные оси вращения; однородного стержня 3 длиной l =1,2 м, закрепленного шарниром на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намотанным на колеса. На стержне расстояние АВ = 2l/3. Стержень 3 соединен с колесом 2 невесомым стержнем 6. Колеса 1 и 2 или находятся в зацеплении (рис. 0—4), или соединены невесомым стержнем 7 (рис. 5—9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины. В табл. Д12 заданы массы mi тел (кг) и коэффициенты жесткости ci пружин (Н/м). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины не изображать); в результате в каждом конкретном варианте получается довольно простой механизм, содержащий три или даже два тела. Стержень 6 или 7 входит в состав механизма, когда в него входят оба тела, соединенные этим стержнем. В положениях, изображенных на рисунках, механизм находится в равновесии. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия. Найти также, чему равно статическое удлинение (сжатие) пружины λст в положении равновесия. При подсчетах считать колеса 1 и 2 сплошными однородными цилиндрами радиусов R₁ и R₂ соответственно. Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С1.0 — С1.9, табл. С1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН·м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действует сила F₂ под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D и сила F₃ под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке E, и т. д.). Определить реакции связей в точках A, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 — С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6 — С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или гладкая плоскость (рис. 0 и 1), или невесомый стержень ВВ' (рис. 2 и 3), или шарнир (рис. 4—9); в точке D или невесомый стержень DD' (рис. 0, 3, 8), или шарнирная опора на катках (рис. 7). На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН·м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила F₂ под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила F₄ под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СK). Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис. 0, 3, 7, 8 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,2 м.

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 = 18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2 = 6 кг (рис. Д4.0 — Д4.9, табл. Д4). В момент времени t0 = 0, когда скорость плиты u0 = 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. 0—3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s = AD изменяется по закону s = f1(t), а на рис. 4—9 желоб — окружность радиуса R = 0,8 м и при движении груза угол φ = ∟AC1D изменяется по закону ф = f2(t). В табл. Д4 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах, φ — в радианах» t — в секундах. Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость u = f(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2 м) массой m₁ = 24 кг вращается с угловой скоростью ω₀ = 10 с^-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д5.0 —Д5.9, табл. Д5); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху). В момент времени t₀ = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m₂ = 8 кг по закону s = AD = F(t) где s выражено в метрах, t — в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютонометрах; при М<0 его направление противоположно показанному на рисунках). Определить, пренебрегая массой вала, зависимость ω = f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра С.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ = 0,3 м, r₃ = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃ = 0,2 м, блока 4 радиуса R₄= 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д6.0 — Д6.9, табл. Д6); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 — равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c. Под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках). Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁ = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: v₁, v₂, vC₅ — скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, ω₃ и ω₄ — угловые скорости тел 3 и 4. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения. На всех рисунках не изображать груз 2, если m₂ = 0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Барабан радиуса R весом P имеет выточку (как у катушки) радиуса r = 0,6R (рис. Д7.0 — Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F₁ и F₂, направления которых определяются углом β; кроме сил на барабан действует пара с моментом М; когда в таблице М<0, направление момента противоположно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках. Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. xC = f(t), и наименьшее значение коэффициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

Вертикальный вал АК (рис. Д8.0 — Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с^-1, закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = BD = DE = ЕК = a). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1 м, а их массы m1 и m2 пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l = 4b с точечной массой m₃ = 3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α, β, γ, φ даны в столбцах 5—8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а = 0,6 м.

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами α, β, γ, φ, θ (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9а и Д9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: l₁ = 0,4 м, l₄ = 0,6 м (размеры l₂ и l₃ произвольны); точка Е находится в середине соответствующего стержня. На ползун В механизма действует сила упругости пружины F; численно F = сλ, где с — коэффициент жесткости пружины, λ — ее деформация. Кроме того, на рис. 0 и 1 на ползун D действует сила Q, а на кривошип O1А — пара сил с моментом М; на рис. 2—9 на кривошипы O1А и O2D действуют пары сил с моментами М₁ и M₂. Определить, чему равна при равновесии деформация λ пружины, и указать, растянута пружина или сжата. Значения всех заданных величин приведены в табл. Д9а для рис. 0—4 и в табл. Д9б для рис. 5—9, где Q выражено в ньютонах, а М, М₁, М₂ — в ньютонометрах. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; для большей наглядности ползун с направляющими и пружину изобразить так, как в примере Д9 (см. рис. Д9, а также рис. Д9.10, б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В стержень окажется совмещенным с пружиной (как на рис. Д9.10, а), то пружину следует считать прикрепленной к ползуну с другой стороны (как на рис. Д9.10, б, где одновременно иначе изображены направляющие).

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0 — Д10.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁ = 0,2 м, r₁ — 0,1 м, а шкива 2 — R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ₁ = 0,1 м и ρ₂ = 0,2 м. Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р₁, …, Р₆ шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Механическая система состоит из тел 1, 2, …, 5 весом P₁, Р₂, …, P₅ соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными на ступенчатые блоки 1 и 2 (рис. Д11.0 — Д11.9, табл. Д11). Радиусы ступенчатых блоков 1 и 2 равны соответственно R₁ = R, r₁ = 0,4R, R₂ = R, r₂ = 0,8R. При вычислении моментов инерции все блоки, катки и колеса считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R. На систему кроме сил тяжести действует сила F, приложенная к телу 3 или 4 (если тело 3 в систему не входит, сила приложена в точке В к тележке), и пары сил с моментами М₁, M₂, приложенные к блокам 1 и 2; когда М<0, направление момента противоположно показанному на рисунке. На участке нити, указанном в таблице в столбце «Пружина», включена пружина с коэффициентом жесткости с (например, если в столбце стоит АВ, то участок АВ является пружиной, если AD, то AD — пружина и т.д.); в начальный момент времени пружина не деформирована. Составить для системы уравнения Лагранжа и найти закон изменения обобщенной координаты x, т. е. x = f(t), считая, что движение начинается из состояния покоя; определить также частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении (о выборе координаты x см. «Указания»). Прочерк в столбцах таблицы, где заданы веса, означает, что соответствующее тело в систему не входит (на чертеже не изображать), а ноль — что тело считается невесомым, но в систему входит; для колес, обозначенных номером 4, Р₄ — их общий вес (вес платформы такой тележки не учитывается).

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. КЗ.0 — К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и E (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O1, O2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. КЗа (для рис. 0—4) или в табл. КЗб (для рис. 5—9); при этом в табл. КЗа ω₁ и ω₄ — величины постоянные. Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти». Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 — против хода часовой стрелки и т. д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере КЗ (см. рис. КЗб). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость vB и ускорение аB — от точки В к b (на рис. 5—9).

Прямоугольная пластина (рис. К4.0 — К4.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К4.5 — К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = f₁(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0—4) или по окружности радиуса R (рис. 5—9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = f₂(t) (s выражено в сантиметрах, t — в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0—4 и для рис. 5—9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость v₀ движется в изогнутой трубе AВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1). На участке AВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке AВ пренебречь. В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная расстояние AВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = f(t), где х = BD.

Груз 1 массой m укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. Д2.0 — Д2.9, табл. Д2). Лифт движется вертикально по закону z = 0,5α₁t² + α2sin(ωt) + α3cos(ωt) (ось z направлена по вертикали вверх; z выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R = μv, где v — скорость груза по отношению к лифту. Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х = f(t); начало координат поместить в точке, где находится прикрепленный к грузу конец пружины, когда пружина не деформирована. При этом во избежание ошибок в знаках направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х>0, т.е. пружина растянута. При подсчетах можно принять g = 10 м/с2. Массой пружин и соединительной планки 2 пренебречь. В таблице обозначено: c₁, с₂, c₃ — коэффициенты жесткости пружин, λ₀ — удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t = 0, v₀ — начальная скорость груза по отношению к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк в столбцах c₁, с₂, c₃ означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить в соответствующем месте или к грузу или к потолку (полу) лифта; то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные планкой 2 концы обеих оставшихся пружин. Условие μ = 0 означает, что сила сопротивления R отсутствует.